实用算法实现-第 31 篇 博弈游戏

31.1 Bash博弈

只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

很容易想到当n%(m+1)<>0时，先取必胜，第一次先拿走n%(m+1)，以后每个回合到保持两人拿走的物品总和为m+1即可。

这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。

31.2 Wythoff博弈

有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）.可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk=ak+k.

那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：

ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...,n 方括号表示取整函数)

奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1.618...,因此,由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。

31.2.1实例

PKU JudgeOnline, 1067, 取石子游戏.

31.2.2问题描述

有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目，如果轮到你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。

输入包含若干行，表示若干种石子的初始情况，其中每一行包含两个非负整数a和b，表示两堆石子的数目，a和b都不大于1,000,000,000。

输出对应也有若干行，每行包含一个数字1或0，如果最后你是胜者，则为1，反之，则为0。

31.2.3输入

21

84

4 7

31.2.4输出

0

1

0

31.2.5程序

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
     int k,n,m;
     doubler=0.6180339887,R=1/r;
     while(scanf("%d%d",&n,&m)+1)
     {
         if(n>m)
         {
              k=n;
              n=m;
              m=k;
         }
         k=n*r;
         if(n!=(int)(k*R))
              ++k;
         printf("%d\n",m!=(int)(k*R)+k);
     }
     return 0;
}

31.3 Nim博弈

有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

对于任何奇异局势(a,b,c)，都有a^b^c=0。

非奇异局势(a,b,c)(a<b<c)转换为奇异局势，只需将c变为a^b，即从c中减去 c-(a^b)即可。

31.3.1实例

PKU JudgeOnline, 2234, Matches Game.

31.3.2问题描述

有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

31.3.3输入

245 45

3 3 6 9

1.3.4输出

No

Yes

31.3.5程序

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
       inti,k,n;
       while(scanf("%d",&n)+1)
       {
              for(k=0;n--;)
              {
                     scanf("%d",&i);
                     k^=i;
              }
              if(k)
                     printf("Yes\n");
              else
                     printf("No\n");
       }
       return0;
}

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